Øvre grænse for skatteoptimering

Change language: DK EN

For et realisationsbeskattet depot vil depot-værdien efter \(y\) år være givet ved:

\[D_{y}\left(k,\left\{ a_{i}\right\} \right)=k\cdot\prod_{i=1}^{y}\left(1+a_{i}\right)-s_{p,q,g,y}\left(k\cdot\prod_{i=1}^{y}\left(1+a_{i}\right)-k,\left\{ r_{i}\right\} \right)\]

\(k\) er startkapital, \(\left\{ a_{i}\right\}\) er et sæt af årlige afkast og \(y\) er antallet af år. Her er skatten givet ved:

\[s_{p,q,g,y}\left(x,\left\{ r_{i}\right\} \right)=p\cdot\min\left(x,g\cdot\prod_{i=1}^{y}\left(1+r_{i}\right)\right)+q\cdot\max\left(0,x-g\cdot\prod_{i=1}^{y}\left(1+r_{i}\right)\right)\]

Her er \(x\) den kapital der skal beskattes, \(p\) den lavere procentsats, \(q\) den højere procentsats, \(g\) progressionsgrænsen og \(\left\{ r_{i}\right\}\) et sæt af procentvise stigninger af progressionsgrænsen. Da depotværdien (medregnet skat) kun afhænger af start- og slutværdien af depotet, gælder:

\[\prod_{i=1}^{y}\left(1+x_{i}\right)=\left(1+\bar{x}\right)^{y}\]

Det fås derfor at:

\[D_{y}\left(k,\bar{a}\right)=k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y}-s_{p,q,g,y}\left(k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y}-k,\bar{r}\right)\]

med:

\[s_{p,q,g,y}\left(x,\bar{r}\right)=p\cdot\min\left(x,g\cdot\left(1+\bar{r}\right)^{y}\right)+q\cdot\max\left(0,x-g\cdot\left(1+\bar{r}\right)^{y}\right)\]

Givet et depot der giver et afkast, kan afkastet realiseres eller forblive urealiseret; dette giver to situationer for afkastet fra depotet. Hvis depotet realiseres, vil delen fra afkastet udvikle sig på følgende måde:

\[\begin{eqnarray} D_{\mathrm{realiseret}} &=& \left.D_{y}\left(m\cdot k,\bar{a}\right)\right|_{g=g_{\mathrm{effektiv}}} \\ &=& m\cdot k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y}-s_{p,q,g_{\mathrm{effektiv}},y}\left(m\cdot k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y}-m\cdot k,\bar{r}\right) \end{eqnarray}\]

Her er \(m\) én minus den skatteprocent der betales ved realisering, og \(g_{\mathrm{effektiv}}\) er progressionsgrænsen fratrukket den del af progressionsgrænsen der opbruges af det underliggende depot. Den anden situation er at afkastet forbliver urealiseret; dette depot vil udvikle sig på følgende måde:

\[\begin{eqnarray} D_{\mathrm{urealiseret}} &=& D_{y}\left(k,\bar{a}\right)+s_{p,q,g,y}\left(k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y}-k,\bar{r}\right)-s_{p,q,g_{\mathrm{effektiv}},y}\left(k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y},\bar{r}\right) \\ &=& k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y}-s_{p,q,g_{\mathrm{effektiv}},y}\left(k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y},\bar{r}\right) \end{eqnarray}\]

Bemærk her at der vil blive betalt skat af hele depotet, da “startkapitalen” er urealiseret. I situationen hvor det underliggende depot bruger hele progressionsgrænsen, vil skatten være givet ved:

\[\left.s_{p,q,0,y}\left(x,\bar{r}\right)\right|_{x>0}=q\cdot x\]

Antal år der skal gå før realisering for at denne skatteoptimering ikke kan betale sig, kan findes ved at sætte:

\[\begin{eqnarray} \left.D_{\mathrm{urealiseret}}\right|_{g_{\mathrm{effektiv}}=0} &=& \left.D_{\mathrm{realiseret}}\right|_{g_{\mathrm{effektiv}}=0} \\ k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y}-q\cdot k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y} &=& m\cdot k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y}-q\cdot\left(m\cdot k\cdot\left(1+\bar{a}\right)^{y}-m\cdot k\right) \\ \left(1+\bar{a}\right)^{y}\cdot\left(k-q\cdot k\right) &=& \left(1+\bar{a}\right)^{y}\cdot\left(m\cdot k-q\cdot m\cdot k\right)+q\cdot m\cdot k \\ \left(1+\bar{a}\right)^{y}\cdot\left(k-q\cdot k-m\cdot k+q\cdot m\cdot k\right) &=& q\cdot m\cdot k \\ \left(1+\bar{a}\right)^{y} &=& \frac{q\cdot m\cdot k}{k-q\cdot k-m\cdot k+q\cdot m\cdot k} \\ y\cdot\log\left(1+\bar{a}\right) &=& \log\left(\frac{q\cdot m\cdot k}{k-q\cdot k-m\cdot k+q\cdot m\cdot k}\right) \\ y &=& \frac{\log\left(\frac{q\cdot m\cdot k}{k-q\cdot k-m\cdot k+q\cdot m\cdot k}\right)}{\log\left(1+\bar{a}\right)} \\ y &=& \frac{\log\left(\frac{q\cdot m}{1-q-m+q\cdot m}\right)}{\log\left(1+\bar{a}\right)} \label{eq1}\tag{1} \end{eqnarray}\]

Den ovenstående ligning er en øvre grænse for hvornår skatteoptimering kan betale sig. Her kan det bemærkes at samme ligning fås med \(g_{\mathrm{effektiv}}=\infty\), altså hvis progressionsgrænsen ikke nås. For denne progressionsgrænse vil \(q\rightarrow p\), og \(m=1-p\) og derved fås:

\[\begin{eqnarray} y &=& \frac{\log\left(\frac{p\cdot\left(1-p\right)}{1-p-\left(1-p\right)+p\cdot\left(1-p\right)}\right)}{\log\left(1+\bar{a}\right)} \\ &=& \frac{\log\left(\frac{p\cdot\left(1-p\right)}{1-p-1+p+p\cdot\left(1-p\right)}\right)}{\log\left(1+\bar{a}\right)} \\ &=& \frac{\log\left(\frac{p\cdot\left(1-p\right)}{p\cdot\left(1-p\right)}\right)}{\log\left(1+\bar{a}\right)} \\ &=& \frac{\log\left(1\right)}{\log\left(1+\bar{a}\right)} \\ &=& 0 \end{eqnarray}\]

Den nedre grænse er derfor 0 år, og derfor ikke særlig brugbar. Den øvre grænse fra ligning (\ref{eq1}) kan nu plottes.

Ofte vil det ikke kunne betale sig at lave skatteoptimering hvis der er mere end 10 år til man skal bruge pengene.

Koden brugt til at lave graferne kan findes her: skatteoptimering_limit.py

Hvis du nød dette indlæg, kan du donere en kop kaffe , hvis du har lyst :)