Kurtage vs. alternativomkostning

Change language: DK EN

Mange mæglere (i hvert fald i Danmark) har en prismodel på \(q\%\) af handelsbeløbet eller minimum \(p\) euro. Givet et fast beløb der skal investeres hver måned, kunne vi tro at det er bedst at samle kontanterne op for at nå minimumskurtagen på \(q\%\). Men så mister vi alternativomkostningen. Lad os prøve at finde det punkt hvor kurtagen opvejer alternativomkostningen.

Givet en tilgængelig kapital \(k\) har vi efter kurtage \(k_\mathrm{eff}\) at handle for. Dvs. at vores samlede kapital er den effektive kapital plus kurtagen:

\[\begin{eqnarray} k &=& k_{\mathrm{eff}}+\max\left(p,q\cdot k_{\mathrm{eff}}\right) \\ &=& k_{\mathrm{eff}}+\begin{cases} p & \mathrm{if}\,p>q\cdot k_{\mathrm{eff}}\\ q\cdot k_{\mathrm{eff}} & \mathrm{else} \end{cases} \end{eqnarray}\]

I det andet tilfælde er kurtagen en procentdel af den investerede kapital, og det at vente for at lave en større investering vil derfor ikke mindske kurtagen. Dette tilfælde kan nu ignoreres.

Nu kan den effektive kapital findes ud fra det første tilfælde:

\[\begin{eqnarray} k &=& k_{\mathrm{eff}}+p \\ k_{\mathrm{eff}} &=& k-p \end{eqnarray}\]

Under antagelse af at \(p>q\cdot k_{\mathrm{eff}}\) er sand, er kurtagen for alle tidligere måneder hvor vi har opsparet kapital i praksis nul, da kurtagen er konstant, dvs. kurtagen for den nuværende måned er den samme uanset om vi har opsparet kapital eller ej. At investere nu i stedet for at opspare kapital for at reducere kurtagen giver derfor kun mening hvis det forventede afkast for én måned er større end kurtagen:

\[\begin{eqnarray} \left(k-p\right)\cdot r_{m} &>& p \\ k\cdot r_{m}-p\cdot r_{m} &>& p \\ k\cdot r_{m} &>& p+p\cdot r_{m} \\ k &>& p+\frac{p}{r_{m}} \end{eqnarray}\]

Dvs. alternativomkostningen opvejer kurtagen hvis vores kapital er større end \(p+\frac{p}{r_{m}}\), under antagelse af at \(p>q\cdot k_{\mathrm{eff}}\). Ovenfor er \(r_m\) det månedlige afkast, som er relateret til det årlige afkast ved: \(r_m = \left(1+r_y\right)^{1/12} - 1\).

I betingelsen \(p>q\cdot k_{\mathrm{eff}}\) indgår \(k_{\mathrm{eff}}\). Denne kan omskrives til kun at afhænge af \(k\) ved at sætte det første tilfælde større end det andet og indsætte \(k_{\mathrm{eff}} = k-p\):

\[\begin{eqnarray} q\cdot\left(k-p\right) &<& p \\ q\cdot k &<& p+q\cdot p \\ k &<& p+\frac{p}{q} \end{eqnarray}\]

Hvis ovenstående ulighed ikke er opfyldt, kan kurtagen ikke reduceres ved at vente.

Den optimale investeringsfrekvens (under antagelse af månedlig investering) kan nu findes:

\[N_\mathrm{opt} = \left\lceil\frac{p+\frac{p}{r_{m}}}{k}\right\rceil\]

Her angiver de særlige parenteser afrunding op til nærmeste heltal. Lad os nu plotte resultaterne for forskellige forventede afkast og \(p=2\) euro.

I ovenstående figur er CAGR den sammensatte årlige vækstrate, dvs. det forventede årlige afkast.

Alternativt kan den kapital der skal til for at afkastet opvejer kurtagen plottes som funktion af det forventede månedlige afkast:

I ovenstående graf ses den minimale kapital der kræves for at det månedlige afkast opvejer kurtagen, for ethvert givent forventet årligt afkast.

Koden brugt til at lave graferne kan findes her: brokerage_vs_opportunity_cost.py

Hvis du nød dette indlæg, kan du donere en kop kaffe , hvis du har lyst :)