Model for prisen på danske investeringsforeninger

Change language: DK EN

I Danmark bliver alle ETFer lagerbeskattet, dvs. beskattet årligt af urealiserede afkast. Til gengæld bliver nogle danske investeringsforeninger realisationsbeskattet, hvis de opfylder visse kriterier for udbetaling af udbytte.

Det udbetalte udbytte vil være:

• indtjent udbytte
• realiserede skattepligtige gevinster

Fra majinvest.dk, 2021-05-09.

Modelbeskrivelse

For at modellere denne adfærd er det kun prisen på foreningen der er relevant, dvs. udbytte fra de underliggende aktier kan ignoreres, fordi disse udbytter skal udbetales. Som model for realiseret gevinst kan omsætningshastigheden bruges. Dvs. at forskellen mellem en baseline-værdi og den nuværende pris på foreningen realiseres med en hastighed givet ved omsætningshastigheden. Dette trækkes derfor fra prisen, da det udbetales som udbytte.

\[k_{i}=\left(k_{i-1}-\left(k_{i-1}-b_{i}\right)\cdot T_{i}\right)\cdot R_{i}\]

Her er \(R_i\) én plus det årlige afkast, \(T\) er omsætningshastigheden og \(k\) er prisen på foreningen. Det kan bemærkes at denne simple form af modellen ikke har den præcis ønskede opførsel hvis \(k_{i-1}<b_{i}\), men den burde stadig være rimelig. Dette kan også skrives som:

\[k_{i}=k_{i-1}\cdot\left(R_{i}-T_{i}\cdot R_{i}\right)+b_{i}\cdot T_{i}\cdot R_{i}\]

For at modellere baselinen kan tre forskellige modeller opstilles. Den første er at baselinen blot er foreningens startværdi:

\[b_i=k_0\]

Den anden model er gennemsnittet af foreningens tidligere priser:

\[b_{i}=\frac{1}{i+1}\sum_{j=0}^{i}k_{j}\]

Og den tredje model er et vægtet gennemsnit af foreningens tidligere priser:

\[b_i=\frac{\left(i+1\right)p}{\sum_{j=0}^{i}\frac{p}{k_{j}}}=\frac{(i+1)}{\sum_{j=0}^{i}k_{j}^{-1}}\]

Hvor vægtningen er sådan at der er den samme tilgang af penge til foreningen hvert år.

Test af modellen

For at teste modellens kvalitet, lad os først betragte to foreninger der følger det samme marked, Danske Invest, Nye Markeder, klasse DKK d og Sparinvest, INDEX Emerging Markets. Dette er et interessant tilfælde, fordi selvom de følger det samme marked, er prisen på Danske Invest faldet (men med store udbytter), mens prisen på Sparinvest er steget. De historiske priser er fundet via saxotrader.com, og som markedsrepræsentation er NASDAQ Emerging Markets Index i euro brugt. Alle data er fra marts måned, fordi foreningernes ex-udbyttedato er i februar.

For Sparinvest-foreningen er resultatet:

og for Danske Invest,

For begge foreninger er de løbende omkostninger trukket fra afkastet af NASDAQ Emerging Markets, baselinen for model 1 (b_case=1) er valgt til 100, og omsætningshastigheden er valgt til 0.09.

Ingen af modellerne giver et perfekt match, men det er meget bemærkelsesværdigt at selvom begge foreninger har det samme underliggende afkast, forudsiger modellen kvalitativt den stigende pris på Sparinvest og den faldende pris på Danske Invest. Model 1 (b_case=1) ser ud til at være den bedste overordnet set.

Som endnu en test betragter vi Sparinvest, INDEX USA Growth, igen med priser fra Saxo, men denne gang med NASDAQ-100 som underliggende indeks i euro. Da dette er en growth-forening bruges en omsætningshastighed på 0.25. Dette giver:

Her er baselinen for model 1 valgt til 65, givet prisen ved start. Igen er modellen i meget god overensstemmelse med den faktiske pris, og model 1 er den bedste model.

Forudsigelser fra model 1 ved samme årlige afkast

Nu hvor model 1 er fundet til at være ret præcis og den bedste af de tre modeller, lad os undersøge den lidt nærmere.

Hvis vi antager det samme afkast hvert år, vil prisen på foreningen efter ét år være:

\[k_{1} = k_{0}\cdot\left(R-T\cdot R\right)+b\cdot T\cdot R\]

Efter to år vil den være:

\[\begin{eqnarray} k_{2} &=& k_{1}\cdot\left(R-T\cdot R\right)+b\cdot T\cdot R \\ &=& \left(k_{0}\cdot\left(R-T\cdot R\right)+b\cdot T\cdot R\right)\cdot\left(R-T\cdot R\right)+b\cdot T\cdot R \\ &=& k_{0}\cdot\left(R-T\cdot R\right)^{2}+b\cdot T\cdot R\cdot\left(R-T\cdot R\right)+b\cdot T\cdot R \end{eqnarray}\]

Og efter tre år:

\[\begin{eqnarray} k_{3} &=& k_{2}\cdot\left(R-T\cdot R\right)+b\cdot T\cdot R \\ &=& \left(k_{0}\cdot\left(R-T\cdot R\right)^{2}+b\cdot T\cdot R\cdot\left(R-T\cdot R\right)+b\cdot T\cdot R\right)\cdot\left(R-T\cdot R\right)+b\cdot T\cdot R \\ &=& k_{0}\cdot\left(R-T\cdot R\right)^{3}+b\cdot T\cdot R\cdot\left(R-T\cdot R\right)^{2}+b\cdot T\cdot R\cdot\left(R-T\cdot R\right)+b\cdot T\cdot R \end{eqnarray}\]

Det kan nu ses at det generelle udtryk vil være:

\[k_N = k_{0}\cdot\left(R-T\cdot R\right)^{N}+b\cdot T\cdot R\cdot\sum_{i=0}^{N-1}\left(R-T\cdot R\right)^{i}\]

og ved at bruge definitionen af model 1, \(b_i = k_0\):

\[k_N = k_{0}\cdot\left(\left(R-T\cdot R\right)^{N}+T\cdot R\cdot\sum_{i=0}^{N-1}\left(R-T\cdot R\right)^{i}\right) \label{model1}\tag{1}\]

Lad os nu undersøge hvordan modellen opfører sig:

Ovenfor er et årligt afkast på 7% antaget.

Det kan ses at to forskellige regioner ser ud til at eksistere: en region med hurtigere og hurtigere vækst af prisen på foreningen, og en region med stagnerende vækst. Ud fra udtrykket for prisen på foreningen fra model 1 kan det ses at:

\[R-T\cdot R = 1\]

eller,

\[T = 1 - \frac{1}{R}\]

kunne være et specialtilfælde. Indsættes dette i ligning (\ref{model1}) finder vi,

\[\begin{eqnarray} \left.k_{N}\right|_{T=1-1/R} &=& k_{0}\cdot\left(1^{N}+\left(1-\frac{1}{R}\right)\cdot R\cdot\sum_{i=0}^{N-1}1^{i}\right) \\ &=& k_{0}\cdot\left(1+\left(R-\frac{R}{R}\right)\cdot N\right) \\ &=& k_{0}\cdot\left(1+R\cdot N-N\right) \\ &=& k_{0}\cdot\left(R-1\right)\cdot N+k_{0} \end{eqnarray}\]

Det kan altså ses at prisen på foreningen i dette punkt er lineær i tid i stedet for eksponentiel. Over dette punkt (dvs. for \(T>1-1/R\)) og ved at lade tiden gå mod uendelig finder vi at:

\[\begin{eqnarray} \lim_{N\rightarrow\infty}\left.k_{N}\right|_{T>1-1/R} &=& \lim_{N\rightarrow\infty}k_{0}\cdot\left(\left(R-T\cdot R\right)^{N}+T\cdot R\cdot\sum_{i=0}^{N-1}\left(R-T\cdot R\right)^{i}\right) \\ &=& k_{0}\cdot T\cdot R\cdot\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^{N-1}\left(R-T\cdot R\right)^{i} \end{eqnarray}\]

Og ved at bruge den geometriske række:

\[\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^{N-1}\left(R-T\cdot R\right)^{i}=\frac{1}{1-R+T\cdot R}\]

Dermed:

\[\lim_{N\rightarrow\infty}\left.k_{N}\right|_{T>1-1/R}=\frac{k_{0}\cdot T\cdot R}{1-R+T\cdot R}\]

Dette betyder at hvis omsætningshastigheden er over \(1-1/R\), så vil prisen på foreningen i gennemsnit aldrig overstige en fast værdi! Dvs. der er en øvre grænse for hvor stor en del af afkastet der bliver beskattet som realiseret gevinst, og resten bliver blot udbetalt som udbytte.

Den fulde kode brugt til at lave graferne kan findes her: model_price_of_danish_fund.py

Hvis du nød dette indlæg, kan du donere en kop kaffe , hvis du har lyst :)