Britiske Premium Bonds, 'forventet' afkast

Change language: DK EN

I Storbritannien kan investorer investere i en type obligationer kaldet premium bonds. Premium bonds har ikke en fast kuponrente, men i stedet udbetales afkastet via et lotteri.

De udtrukne gevinster pr. maj 2022 er:

Prize value	Number of prizes
1,000,000£	2
100,000£	6
50,000£	11
25,000£	24
10,000£	58
5000£	116
1000£	1963
500£	5889
100£	31,907
50£	31,907
25£	3,343,185

Oddsene for at vinde en gevinst er 1 til 24500. Kombineret med ovenstående tabel giver dette et estimat af det samlede antal 1£ premium bonds på ~83.669.166.000.

Det forventede årlige afkast kan beregnes som:

\[\langle r\rangle = 12\cdot\sum_{i} \frac{\#\mathrm{prize}_i\cdot \mathrm{prize}_i}{\mathrm{total\_bonds}}\]

Bemærk at faktoren 12 skyldes at gevinsterne udbetales hver måned, tolv måneder om året. Dette giver et forventet afkast på \(\langle r\rangle = 1.41\%\).

Men givet afkastets stokastiske natur og den lille mulighed for ekstreme gevinster, hvad kan de fleste investorer så forvente af premium bonds?

Det forventede afkast for de fleste investorer kan undersøges via simulering. Der er to meget relevante parametre: tidshorisonten og det investerede beløb i premium bonds. For at mindske problemets dimensionalitet sætter vi vilkårligt tidshorisonten til ti år. Ti forskellige beløb 25£, 59£, 136£, 315£, 733£, 1706£, 3969£, 9235£, 21488£ og 50000£ er valgt. Disse beløb er logaritmisk fordelt mellem minimummet på 25£ og maksimummet på 50000£. For hvert beløb udføres 100000 simuleringer af afkastet over ti år. Bemærk at sandsynlighederne i simuleringen fejlagtigt er genereret med tilbagelægning, men dette forventes kun at have en minimal effekt på resultaterne.

Det annualiserede afkast af beregningerne beregnes som:

\[r=\frac{\frac{\mathrm{capital}_\mathrm{end}}{\mathrm{capital}_\mathrm{start}}-1}{\mathrm{years}}\]

Det beregnes ved blot at dividere med antallet af år i stedet for at bruge formlen for sammensat årlig vækstrate, fordi gevinsterne geninvesteres i premium bonds.

Dette giver følgende graf over afkast:

I ovenstående graf angiver cirklerne medianværdien, og knivene dækker fraktilerne fra 2.5% til 97.5%, og dækker dermed de mest sandsynlige 95% af tilfældene. Grafens manglende glathed skyldes hovedsageligt et begrænset antal simuleringer, kun 100000 pr. beløb.

Ser man på den lave ende af grafen, kan det ses at for de fleste vil en investering på under 150£ give et afkast på 0%, selv over ti år. Men for dem der er ‘heldige’ vil afkastet i procent være enormt.

Ser man nu på den høje ende af grafen, kan det med det samme ses at spredningen bliver mindre når det investerede beløb øges. Kvalitativt ser det ud til at afkastet konvergerer mod det forventede afkast på 1.41%. Men selv efter ti år med 50000£ investeret er medianafkastet 1.33%, og 95%-intervallet er [1.07%, 1.60%]. De fleste investorer kan ‘forvente’ at få et lavere afkast end forventningsværdien.

Det kan bemærkes at medianafkastet i hele grafen er lavere end forventningsværdien for afkastet. Forventningsværdien ser ud til at være en øvre grænse for medianafkastet.

For at forstå hvorfor medianafkastet altid (for tidshorisonter relevante for mennesker) vil være lavere end forventningsværdien, lad os betragte hvordan de forskellige gevinstpuljer bidrager til det forventede afkast.

I ovenstående graf ses bidraget til det forventede afkast fra de forskellige gevinstpuljer. Det kan med det samme ses at de større gevinster har et ikke-forsvindende bidrag til det samlede forventede afkast. For den mediane investor vil disse puljer aldrig blive udbetalt, hvilket fører til at medianafkastet er lavere end det forventede afkast.

For at få en idé om hvor usandsynligt det er at de forskellige gevinstpuljer bliver udbetalt til en bestemt person (samlet set har de store gevinstpuljer 100% sandsynlighed for at blive udbetalt), lad os beregne sandsynligheden for aldrig at vinde en bestemt gevinst over ti år med 50000£ investeret. Dette kan beregnes som:

\[P=\left(1-\frac{\#\mathrm{prizes}}{\mathrm{total\_bonds}}\right)^{12\cdot 10\cdot 50000}\]

Dette giver følgende graf for alle de forskellige gevinster.

Ovenstående graf viser sandsynligheden for aldrig at modtage en bestemt gevinst over ti år med 50000£ investeret. Det kan med det samme ses at alle gevinster fra 5000£ og opefter er meget usandsynlige at vinde.

Det ‘forventede’ afkast af premium bonds, hvis kun gevinsterne fra og med 25£ til og med 1000£ medregnes, er 1.34%, hvilket er meget tæt på medianafkastet fra simuleringerne på 1.33%. Dette forklarer hvorfor medianafkastet over endelige tidsperioder er mærkbart lavere end det forventede afkast, for strukturer som premium bonds.

Den fulde kode brugt til simuleringen og til at lave graferne kan findes her: premium_bonds.py

Bemærk at koden kan tage et par timer at køre.

Hvis du nød dette indlæg, kan du donere en kop kaffe , hvis du har lyst :)